高中數學積化和差計算公式

高中數學積化和差公式記憶方法

最簡潔記憶口決：

積化和差得和差，余弦在后要相加;異名函數取正弦，正弦相乘取負號。

積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域來判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該是[-2,2]，而積的值域卻是[-1,1]，因此除以2是必須的。

也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如：

cos(α-β)-cos(α+β)

=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

=2sinαsinβ

故最后需要除以2。

高中數學積化和差公式記憶竅門

1.觀察

(1)仔細觀察不難發現，其實兩組公式是相互對應的，把第一組公式左右調換稍作轉換就可以得到第二組公式，所以只需要記憶一組公式就可以了，記憶量減少一半。

(2)以記憶第一組公式為例，從公式中很容易找出規律，就是sin自己做加減和cos自己做加減，然后結果是sin和cos位置和加減法的調換。右側始終都有2、(α+β)/2和(α-β)/2，且位置固定，所以只需要記憶前面的sin和cos的符號位置及正負就可以了。(很多時候到這一步，記憶公式只要能找到規律，剩下的稍加記憶然后默寫多看幾次就可以背下來，如果還是記憶有困難那么接著往下)

　2.轉化

諧音

sin-賽

cos-口

3.歌訣記憶

歌訣記憶公式很常見，用歌訣記憶sin和cos的符號位置及正負，例如：

口口之和仍口口

賽賽之和賽口留

口口之差負賽賽

賽賽之差口賽收

如果說用歌訣還是記得有點混，可以再形象點，想像sin代表男人，cos代表女人，+代表團結，-代表打架，那么四個公式就可以記憶為

兩個男人團結，男人地位在前，女人就要靠邊站??(sin+sin=sincos)

兩個男人打架，女人趁機而入在前，男人就要靠邊站??(sin-sin=cossin)

兩個女人團結，男人徹底沒地位，女人統治天下??(cos+cos=coscos)

兩個女人打架，悍婦全都排除掉(-)，男人統治天下??(cos-cos=-sinsin)

注：以上記憶僅為個人最容易記得清楚的聯想，不帶有性別歧視，可結合自身的喜好重新進行聯想記憶。

高中數學積化和差應用

積化和差公式可以將兩個三角函數值的積化為另兩個三角函數值的和乘以常數的形式，所以使用積化和差公式可以達到降次的效果。

在歷史上，對數出現之前，積化和差公式被用來將乘除運算化為加減運算，運算需要利用三角函數表。

運算過程：將兩個數通過乘、除10的方冪化為0到1之間的數，通過查表求出對應的反三角函數值，即將原式化為10ksinαsinβ的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數的值，并最后利用加減算出結果。對數出現后，積化和差公式的這個作用由更加便捷的對數取代。

在現代工程中，積化和差的重要應用在于求解傅里葉級數，特別是在以2π為周期和以2L為周期的函數展開為傅里葉級數時。因為在這種情況下，被展開函數f(x)一般也是三角函數，但其ω與傅里葉系數公式中的三角函數不同，這就為最終求解系數帶來很大困難，因為求解系數的過程中，要求一個在2π周期內的積分，若被積函數是cosxcosnx,直接積分非常困難，若運用積化和差將乘積的積分化為加減運算的積分，將使問題變得容易解決，使用計算機處理時效率也會更高。