【篇一】

四色猜想

世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”這個結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴格證明呢？他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、數(shù)學(xué)家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當時最的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。

11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學(xué)大師們的努力，為后世的數(shù)學(xué)家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。

進入20世紀以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進了一些新技巧，美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學(xué)一系列新思維的起點。不過也有不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。

【篇二】

費馬最后定理

被公認執(zhí)世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關(guān)數(shù)學(xué)難題得以解決的消息，那則消息的標題是「在陳年數(shù)學(xué)困局中，終於有人呼叫『我找到了』」。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發(fā)、穿著中古世紀歐洲學(xué)袍的男人照片。這個古意盎然的男人，就是法國的數(shù)學(xué)家費馬（PierredeFermat）（費馬小傳請參考附錄）。費馬是十七世紀最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以「業(yè)余王子」之美稱，在三百六十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理這個定理的內(nèi)容是有關(guān)一個方程式x2+y2=z2的正整數(shù)解的問題，當n=2時就是我們所熟知的畢氏定理（中國古代又稱勾股弦定理）：x2+y2=z2，此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股，也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和，這個方程式當然有整數(shù)解（其實有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…等等。

費馬聲稱當n>2時，就找不到滿足xn+yn=zn的整數(shù)解，例如：方程式x3+y3=z3就無法找到整數(shù)解。

當時費馬并沒有說明原因，他只是留下這個敘述并且也說他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個定理的證明妙法，只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題，三百多年來無數(shù)的數(shù)學(xué)家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最後定理也就成了數(shù)學(xué)界的心頭大患，極欲解之而後快。

十九世紀時法國的法蘭西斯數(shù)學(xué)院曾經(jīng)在一八一五年和一八六０年兩度懸賞金質(zhì)獎?wù)潞腿俜ɡ山o任何解決此一難題的人，可惜都沒有人能夠領(lǐng)到獎賞。德國的數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾（P？Wolfskehl）在1908年提供十萬馬克，給能夠證明費馬最後定理是正確的人，有效期間為100年。其間由於經(jīng)濟大蕭條的原因，此筆獎額已貶值至七千五百馬克，雖然如此仍然吸引不少的「數(shù)學(xué)癡」。

二十世紀電腦發(fā)展以後，許多數(shù)學(xué)家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的，1983年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確的（注286243-1為一天文數(shù)字，大約為25960位數(shù)）。

雖然如此，數(shù)學(xué)家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數(shù)學(xué)懸案終於解決了，這個數(shù)學(xué)難題是由英國的數(shù)學(xué)家威利斯（AndrewWiles）所解決。其實威利斯是利用二十世紀過去三十年來抽象數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果加以證明。

五０年代日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先提出一個有關(guān)橢圓曲現(xiàn)的猜想，後來由另一位數(shù)學(xué)家志村五郎加以發(fā)揚光大，當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關(guān)聯(lián)。在八０年代德國數(shù)學(xué)家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起，而威利斯所做的正是根據(jù)這個關(guān)聯(lián)論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的，進而推出費馬最後定理也是正確的。這個結(jié)論由威利斯在1993年的6月21日於美國劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的研討會正式發(fā)表，這個報告馬上震驚整個數(shù)學(xué)界，就是數(shù)學(xué)門墻外的社會大眾也寄以無限的關(guān)注。不過威利斯的證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵，於是威利斯與他的學(xué)生又花了十四個月的時間再加以修正。1994年9月19日他們終於交出完整無瑕的解答，數(shù)學(xué)界的夢魘終於結(jié)束。1997年6月，威利斯在德國哥庭根大學(xué)領(lǐng)取了佛爾夫斯克爾獎。當年的十萬法克約為兩百萬美金，不過威利斯領(lǐng)到時，只值五萬美金左右，但威利斯已經(jīng)名列青史，永垂不朽了。

要證明費馬最後定理是正確的

（即xn+yn=zn對n33均無正整數(shù)解）

只需證x4+y4=z4和xp+yp=zp(P為奇質(zhì)數(shù))，都沒有整數(shù)解。

【篇三】

幾何的三大問題

平面幾何作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里所謂的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。用直尺與圓規(guī)當然可以做出許多種之圖形，但有些圖形如正七邊形、正九邊形就做不出來。有些問題看起來好像很簡單，但真正做出來卻很困難，這些問題之中最有名的就是所謂的三大問題。

幾何三大問題是：

1.化圓為方－求作一正方形使其面積等於一已知圓；

2.三等分任意角；

3.倍立方－求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。

圓與正方形都是常見的幾何圖形，但如何作一個正方形和已知圓等面積呢？若已知圓的半徑為1則其面積為π(1)2=π，所以化圓為方的問題等於去求一正方形其面積為π，也就是用尺規(guī)做出長度為π1/2的線段（或者是π的線段）。

三大問題的第二個是三等分一個角的問題。對於某些角如90。、180。三等分并不難，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分則可以做出20。的角，那麼正18邊形及正九邊形也都可以做出來了（注：圓內(nèi)接一正十八邊形每一邊所對的圓周角為360。/18=20。）。其實三等分角的問題是由求作正多邊形這一類問題所引起來的。

第三個問題是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾經(jīng)記述一個神話提到說有一個先知者得到神諭必須將立方形的祭壇的體積加倍，有人主張將每邊長加倍，但我們都知道那是錯誤的，因為體積已經(jīng)變成原來的8倍。

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1637年笛卡兒創(chuàng)建解析幾何以後，許多幾何問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究。1837年旺策爾(Wantzel)給出三等分任一角及倍立方不可能用尺規(guī)作圖的證明。1882年林得曼（Linderman）也證明了π的超越性（即π不為任何整數(shù)系數(shù)多次式的根），化圓為方的不可能性也得以確立。